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In mwcatopologia, due mwcqfunzioni continue da uno mwcgspazio topologico a un altro sono chiamate mwcwomotope (dal mwdaGreco Antico: ὁμός mwdqhomós 'medesimo, simile' e τόπος mwdgtópos 'luogo') se una può essere trasformata nell'altra mediante deformazione continua: tale deformazione è chiamata mwdwomotopia tra le due funzioni. Un utilizzo notevole del concetto di omotopia è rintracciabile nella definizione di mweagruppi di omotopia e gruppi di coomotopia, importanti mweqinvarianti nella mwegtopologia algebrica.cite-ref-1[1]

Nella pratica, vi sono alcune difficoltà tecniche nell'utilizzo delle omotopie con determinati spazi. I topologi algebrici lavorano con spazi generati in modo compatto, mwgacomplessi CW o spettri.

• Definizione formale

• Esempi

• Proprietà

• Relazione di equivalenza

• Spazi omotopicamente equivalenti

• Proprietà invarianti per omotopia

• Categoria delle omotopie e invarianti per omotopie

• Omotopia relativa

• Isotopia

• Isotopia ambiente

• Note

• Bibliografia

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Formalmente, un'omotopia fra due mwiafunzioni continue mwiq f {\displaystyle f} e mwig g {\displaystyle g} da uno mwiwspazio topologico mwja X {\displaystyle X} a uno spazio topologico mwjq Y {\displaystyle Y} è una funzione continua mwjg H : : X × × [ 0 , 1 ] → → Y {\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y} dal mwjwprodotto dello spazio mwka X {\displaystyle X} con l'mwkqintervallo unitario mwkg [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} a mwkw Y {\displaystyle Y} tale che mwla H ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle H(x,0)=f(x)} e mwlq H ( x , 1 ) = g ( x ) {\displaystyle H(x,1)=g(x)} per ogni mwlg x ∈ ∈ X {\displaystyle x\in X} .

Se pensiamo al secondo mwmaparametro di mwmq H {\displaystyle H} come il "tempo", allora mwmg H {\displaystyle H} descrive una "deformazione continua" di mwmw f {\displaystyle f} in mwna g {\displaystyle g} : al tempo mwnq 0 {\displaystyle 0} abbiamo la funzione mwng f {\displaystyle f} , al tempo mwnw 1 {\displaystyle 1} abbiamo la funzione mwoa g {\displaystyle g} . Possiamo anche pensare, in termini più informatici, al secondo parametro come uno mwoqslider control, il quale consente di passare gradualmente da mwog f {\displaystyle f} a mwow g {\displaystyle g} mentre lo mwpaslider si sposta da 0 a 1, e viceversa.

Una formulazione alternativa si ha definendo un'omotopia tra due funzioni continue mwpg f , g : : X → → Y {\displaystyle f,g\colon X\to Y} come una famiglia di funzioni continue mwpw h t : : X → → Y {\displaystyle h_{t}\colon X\to Y} , per mwqa t ∈ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} , tale che mwqq h 0 = f {\displaystyle h_{0}=f} , mwqg h 1 = g {\displaystyle h_{1}=g} e mwqw ( x , t ) ↦ ↦ h t ( x ) {\displaystyle (x,t)\mapsto h_{t}(x)} una funzione continua da mwra X × × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} a mwrq Y {\displaystyle Y} . Non è sufficiente richiedere che ogni funzione mwrg h t ( x ) {\displaystyle h_{t}(x)} debba essere continua.cite-ref-2[2]

Due funzioni continue mwtq f , g : : R n → → R m {\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} qualsiasi fra mwtgspazi euclidei sono omotope. Si può infatti trasformare con continuità l'una nell'altra con la seguente omotopia:

mwuq G : : R n × × [ 0 , 1 ] → → R m {\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{m}}

mwuw G ( x , t ) = t f ( x ) + ( 1 − − t ) g ( x ) . {\displaystyle G(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x).}

Lo stesso risultato vale per una qualsiasi coppia di funzioni mwvq f , g : : X → → R m {\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} ^{m}} definite su uno spazio topologico mwvg X {\displaystyle X} arbitrario. Notiamo che, anche se mwvw f {\displaystyle f} e mwwa g {\displaystyle g} sono mwwqiniettive, la "deformazione al tempo mwwg t {\displaystyle t} " data da mwww t f ( x ) + ( 1 − − t ) g ( x ) {\displaystyle tf(x)+(1-t)g(x)} può non essere iniettiva.

Essere omotopi è una mwxwrelazione di equivalenza sull'insieme di tutte le funzioni continue da mwya X {\displaystyle X} a mwyq Y {\displaystyle Y} . Questa relazione di omotopia è compatibile con la mwygcomposizione di funzioni in questo senso: se mwyw f 1 , g 1 : : X → → Y {\displaystyle f_{1},g_{1}\colon X\to Y} sono omotope, e mwza f 2 , g 2 : : Y → → Z {\displaystyle f_{2},g_{2}\colon Y\to Z} sono omotope, allora anche le loro composizioni mwzq f 2 ∘ ∘ f 1 : : X → → Z {\displaystyle f_{2}\circ f_{1}\colon X\to Z} e mwzg g 2 ∘ ∘ g 1 : : X → → Z {\displaystyle g_{2}\circ g_{1}\colon X\to Z} sono omotope.

Una funzione mwaa f : : X → → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} è detta mwaqomotopicamente nulla se è omotopa a una funzione costante. Se mwag Y {\displaystyle Y} è mwawconnesso per archi, le mwbafunzioni costanti da mwbq X {\displaystyle X} in mwbg Y {\displaystyle Y} sono tutte omotope fra loro. Uno spazio topologico connesso per archi mwbw X {\displaystyle X} per cui ogni funzione continua mwca f : : X → → X {\displaystyle f\colon X\to X} è omotopicamente nulla si dice mwcqcontrattile o mwcgcontraibile. Intuitivamente, uno spazio contrattile può essere "contratto ad un punto" in modo continuo. Per quanto visto sopra, uno mwcwspazio euclideo è contrattile. Altri esempi di spazi contraibili sono: la mwdapalla mwdq n {\displaystyle n} -dimensionale per qualsiasi mwdg n {\displaystyle n} e la superficie dell'mwdwipersfera mwea S n {\displaystyle S^{n}} per mweq n {\displaystyle n} dispari, che possiede mwegcaratteristica di Eulero mwew χ χ = 0 {\displaystyle \chi =0} , come quella del punto (per mwfa n {\displaystyle n} pari, la caratteristica vale mwfq 2 {\displaystyle 2} , come quella della superficie sferica).

Uno spazio mwfw X {\displaystyle X} è contrattile se e solo se la mwgaapplicazione identica da mwgq X {\displaystyle X} in sé è omotopicamente nulla.

Dati due spazi mwha X {\displaystyle X} e mwhq Y {\displaystyle Y} , diciamo che sono mwhgomotopicamente equivalenti, oppure che hanno lo stesso mwhwtipo di omotopia se esistono due funzioni mwia f : : X → → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} e mwiq g : : Y → → X {\displaystyle g\colon Y\to X} tali che mwig g ∘ ∘ f {\displaystyle g\circ f} è omotopa alla mwiwfunzione identità mwja i d X {\displaystyle \mathrm {id} _{X}} su mwjq X {\displaystyle X} e mwjg f ∘ ∘ g {\displaystyle f\circ g} è omotopa alla funzione identità mwjw i d Y {\displaystyle \mathrm {id} _{Y}} su mwka Y {\displaystyle Y} . Le applicazioni mwkq f {\displaystyle f} e mwkg g {\displaystyle g} sono dette mwkwequivalenze di omotopia.

Si dimostra facilmente che uno spazio mwlq X {\displaystyle X} è mwlgcontrattile se e solo se è omotopicamente equivalente allo spazio topologico mwlw P {\displaystyle P} fatto da un punto solo. Chiaramente, ogni mwmaomeomorfismo è una equivalenza di omotopia, ma il contrario non è sempre vero: uno mwmqspazio euclideo è contrattile, ma non è omeomorfo ad un punto.

Intuitivamente, due spazi mwmw X {\displaystyle X} e mwna Y {\displaystyle Y} sono omotopicamente equivalenti se possono essere trasformati l'uno nell'altro con operazioni di deformazione, contrazione ed espansione. Ad esempio, una mwnqpalla è omotopicamente equivalente ad un punto, mentre mwng R 2 ∖ ∖ { ( 0 , 0 ) } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}} è omotopicamente equivalente alla mwnwcirconferenza mwoa S 1 {\displaystyle S^{1}} .

Molte delle proprietà invarianti per mwowomeomorfismo sono in verità invarianti anche per omotopia. Se mwpa X {\displaystyle X} e mwpq Y {\displaystyle Y} sono omotopicamente equivalenti, allora

• se mwqa X {\displaystyle X} è mwqqconnesso, allora lo è anche mwqg Y ; {\displaystyle Y;}

• se mwra X {\displaystyle X} è mwrqconnesso per archi, allora lo è anche mwrg Y ; {\displaystyle Y;}

• se mwsa X {\displaystyle X} e mwsq Y {\displaystyle Y} sono connessi per archi, allora i mwsggruppi fondamentali di mwsw X {\displaystyle X} e mwta Y {\displaystyle Y} sono isomorfi, così come i mwtqgruppi di omotopia superiori;

• in particolare, se mwtw X {\displaystyle X} è mwuasemplicemente connesso, allora lo è anche mwuq Y ; {\displaystyle Y;}

• i gruppi di omologia e di coomologia di mwvq X {\displaystyle X} e mwvg Y {\displaystyle Y} sono mwvwisomorfi;

• il mwwqgenere di una superficie è invariante per omotopia.

In particolare, uno spazio contraibile è semplicemente connesso. Non vale il contrario: la mwwwsfera mwxa S n {\displaystyle S^{n}} è semplicemente connessa per ogni mwxq n {\displaystyle n} maggiore di 1 e non contraibile.

D'altra parte, esistono concetti che distinguono spazi omotopi ma non omeomorfi. Esistono esempi di spazi mwxw X {\displaystyle X} e mwya Y {\displaystyle Y} omotopicamente equivalenti dove:

• mwyw X {\displaystyle X} è compatto e mwza Y {\displaystyle Y} no (mwzq X {\displaystyle X} è un punto e mwzg Y {\displaystyle Y} uno spazio euclideo);

• mw0a X {\displaystyle X} è una mw0qvarietà topologica o mw0gdifferenziabile e mw0w Y {\displaystyle Y} no;

• mw1q X {\displaystyle X} e mw1g Y {\displaystyle Y} sono varietà topologiche di dimensioni diverse;

• mw2a X {\displaystyle X} e mw2q Y {\displaystyle Y} hanno omologia a supporto compatto diversa.

Più in astratto, si può ricorrere ai concetti della mw3qteoria delle categorie. Si può definire una mw3gcategoria delle omotopie, i cui oggetti sono spazi topologici, e i cui morfismi sono classi di omotopia di applicazioni continue. Due spazi topologici mw3w X {\displaystyle X} e mw4a Y {\displaystyle Y} sono isomorfi in questa categoria se e solo se sono omotopicamente equivalenti.

Un mw4ginvariante per omotopie è una qualsiasi funzione sullo spazio (o sulle applicazioni), che rispetta la relazione di mw4wequivalenza di omotopia (rispettivamente mw5aomotopia); tali invarianti fanno parte della mw5qteoria delle omotopie.

Un esempio di invariante per omotopie è il mw5wgruppo fondamentale di uno spazio.

Nella pratica, la teoria delle omotopie è portata avanti lavorando su mw6qCW-complessi, per comodità tecnica.

È necessario definire la nozione di mw7aomotopia relativa a un sottospazio, in modo particolare per definire il mw7qgruppo fondamentale. Esistono omotopie che mantengono fissi gli elementi di un sottospazio. Formalmente: se mw7g f {\displaystyle f} e mw7w g {\displaystyle g} sono applicazioni continue da mw8a X {\displaystyle X} a mw8q Y {\displaystyle Y} e mw8g K {\displaystyle K} è un mw8wsottoinsieme di mw9a X {\displaystyle X} , allora diciamo che mw9q f {\displaystyle f} e mw9g g {\displaystyle g} sono omotope relativamente a mw9w K {\displaystyle K} se esiste una omotopia mw-a H : : X × × [ 0 , 1 ] → → Y {\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y} tra mw-q f {\displaystyle f} e mw-g g {\displaystyle g} tale che mw-w H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) {\displaystyle H(k,t)=f(k)=g(k)} per ogni mw-a k ∈ ∈ K {\displaystyle k\in K} e mw-q t ∈ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} .

Nel caso in cui le due funzioni continue date mwaqa f {\displaystyle f} e mwaqe g {\displaystyle g} dallo spazio topologico mwaqi X {\displaystyle X} allo spazio topologico mwaqm Y {\displaystyle Y} siano un mwaqqomeomorfismo con l'immagine (cioè, sono un omeomorfismo se ristrette da mwaqu X {\displaystyle X} alla loro immagine), si può chiedere se possano essere connesse attraverso omeomorfismi con l'immagine. Questo dà origine al concetto di mwaqyisotopia, cioè una omotopia mwaqc H {\displaystyle H} (nella notazione usata precedentemente) tale che per ogni mwaqg t {\displaystyle t} fissato, mwaqk H ( x , t ) {\displaystyle H(x,t)} è un omeomorfismo sull'immagine.

La richiesta che due funzioni siano isotope è una richiesta molto più forte rispetto alla richiesta di omotopia. Ad esempio:

• L'applicazione dal disco unitario in mwaq0 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} definita da mwaq4 f ( x , y ) = ( − − x , − − y ) {\displaystyle f(x,y)=(-x,-y)} , che consiste in una mwaq8rotazione di 180 gradi rispetto all'origine, è isotopa alla mappa identica: le due mappe possono essere connesse da rotazioni di angolo mwara α α {\displaystyle \alpha } con mware α α {\displaystyle \alpha } che varia da 0 gradi a 180 gradi.

• L'applicazione dall'intervallo mwarm [ − − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} in mwarq R {\displaystyle \mathbb {R} } definita da mwaru f ( x ) = − − x {\displaystyle f(x)=-x} non è isotopa all'identità! (d'altro canto, tutte le mappe a valori in mwary R {\displaystyle \mathbb {R} } sono omotope, perché mwarc R {\displaystyle \mathbb {R} } è contrattile).

• In generale, l'applicazione dalla palla in mwark R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} definita da mwaro f ( v ) = − − v {\displaystyle f(v)=-v} è isotopa all'identità se e solo se mwars n {\displaystyle n} è pari: questo perché per mwarw n {\displaystyle n} dispari tale mappa cambia l'mwar0orientazione della palla.

Una mwasaisotopia ambiente di uno spazio topologico mwase X {\displaystyle X} è una isotopia fra la mwasifunzione identità mwasm i d : : X → → X {\displaystyle \mathrm {id} \colon X\to X} ed un altro mwasqomeomorfismo mwasu f : : X → → X {\displaystyle f\colon X\to X} .

L'isotopia ambiente è usata per costruire mwascrelazioni di equivalenza fra sottospazi di alcuni spazi topologici, ad esempio nella mwasgteoria dei nodi: quando è sensato considerare due nodi equivalenti? Prendiamo due nodi mwask K 1 {\displaystyle K_{1}} e mwaso K 2 {\displaystyle K_{2}} in uno mwassspazio a tre mwaswdimensioni. L'idea intuitiva di "deformazione" di un nodo nell'altro corrisponde proprio ad una isotopia ambiente fra la funzione identità mwas0 i d : : R 3 → → R 3 {\displaystyle \mathrm {id} \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}} ed un omeomorfismo mwas4 f : : R 3 → → R 3 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}} che porta il primo nodo nel secondo, cioè tale che mwas8 f ( K 1 ) = K 2 {\displaystyle f(K_{1})=K_{2}} .

cite-note-11. ↑ mwaty(mwatcmwatgEN) mwatkmwatoHomotopy | mathematics, su mwatsEncyclopedia Britannica. mwatwURL consultato il 17 agosto 2019.

cite-note-22. ↑ mwauamwauemwauialgebraic topology - Path homotopy and separately continuous functions, su mwaumMathematics Stack Exchange.

• Marco Manetti, mwaucTopologia, Springer, 2008. ISBN 978-88-470-0756-7.

• Allen Hatcher, mwauomwausAlgebraic topology. (2002) Cambridge University Press, xii+544 pp.mwauw ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0.

• mwavaM.A. Armstrong, Basic Topology, Springer, 1979, ISBN 0-387-90839-0.

• mwaviEdwin Spanier, Algebraic Topology, Springer, December 1994, ISBN 0-387-94426-5.

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su omotopia

• citerefbritannica-com(EN) Robert Osserman, homotopy, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Homotopy, su MathWorld, Wolfram Research.